Fisika Statistik Maxwell-Boltzmann

“STATISTIK MAXWELL-BOLTZMANN”

           

            Konsep statistik Maxwell-Boltzman dan aplikasinya dalam penurunan persamaan gas ideal (PV = NkT). Perhatikan bahwa persamaan gas ideal dituliskan bukan dalam bentuk PV = nRT sebab melalui pendekatan mekanika statistik kita mulai mempersoalkan gerak molekul-molekul gas. Sebagaimana dipahami, k adalah tetapan umum gas untuk setiap molekul, sedangkan n adalah untuk setiap mol.

A.    Pendahuluan

            Alasan pengembangan mekanika statistik adalah untuk memberi landasan yang kokoh bagi fenomena termodinamik. Dua fisikawan mashur disebut sebagai pelopornya, yaitu Boltzmann di Jerman dan Gibbs di Amerika Serikat. Bab ini akan membahas konsep statistik Maxwell-Boltzman dan aplikasinya dalam penurunan persamaan gas ideal (PV = NkT). Perhatikan bahwa persamaan gas ideal dituliskan bukan dalam bentuk PV = nRT sebab melalui pendekatan mekanika statistik kita mulai mempersoalkan gerak molekul-molekul gas. Sebagaimana dipahami, k adalah tetapan umum gas untuk setiap molekul, sedangkan n adalah untuk setiap mol.

B.      Ruang Fase

Ruang fase yang telah diulas dalam sangat berguna dalam membahas distribusi kecepatan molekul. Setiap titik dalam ruang fase adalah representasi lengkap dari posisi dan kecepatan setiap molekul. Jika kecepatan setiap molekul dinyatakan sebagai vektor dengan titik tangkap pada pusat koordinat, maka vektor-vektor ini akan menembus permukaan radial khayal tertentu. Untuk setiap vektor kecepatan berlaku

                                 

dimana index x menandakan komponen dalam arah Sumbu-x. Setiap vektor yang bersesuaian dengan satu molekul dan direpresentasikan oleh anak panah dapat diwakili oleh ujung vektor berupa titik. Titik-titik ini berada dalam ruang yang kita sebut sebagai ruang kecepatan (velocity space).

            Ruang repsentasi kecepatan adalah ruang tiga dimensi Kartesian dengan sumbu vx, vy dan vz. Pada ruang kecepatan, ada kemungkinan dua buah vektor berimpit. Keadaan ini bersesuaian dengan keadaan bahwa dua molekul memiliki kecepatan yang persis sama, kendati posisinya berbeda. Dalam ruang fase, tidak mungkin ada dua titik representasi berimpit sebab posisi setiap molekul unik.

Suatu elemen volume dV dalam ruang fase diasumsikan mengandung banyak sekali titik representasi. Elemen-elemen volume selanjutnya dipandang sebagai bilik kemudian diberi nomor. Kita dapat mendefinisikan densitas pada masing-masing elemen volume ini

                                 

Densitas ini akan merupakan fungsi dari 3 peubah ruang dan 3 peubah kecepatan; dan perlu dirumuskan bentuk eksplisitnya.

C.      Keadaan Mikro dan Keadaan Makro

            Keadaan mikro adalah konfigurasi sesaat yang memuat data lengkap posisi dan kecepatan (momentum) setiap molekul. Konfigurasi dapat dipandang sebagai hasil pemotretan pada satu titik waktu. Potret nyata dari suatu sistem hanya memuat informasi posisi masing-masing molekul dan tidak ada informasi tentang kecepatan. Kenyataan bahwa pemotretan benda bergerak akan menghasilkan gambar yang kualitasnya tidak sebaik dengan pemotretan benda diam. Sebab itu

dikonsepkan bahwa potret untuk keperluan keadaan mikro memuat informasi bukan hanya posisi, tetapi juga kecepatan yang dinyatakan oleh warna. Pemotretan dapat dilakukan pada berbagai titik waktu, sedangkan hasil dari masing-masing pemotretan adalah satu keadaan mikro.

            Sejumlah keadaan mikro kemungkinan merepresentasikan keadaan makro yang sama. Jumlah keadaan mikro untuk berbagai keadaan makro dapat berbeda, sebagaimana dibahas dalam Bab 3.

Misalnya seperti yang ditunjukkan dalam Gmb. 7.1. 

                    

D.    Bobot Statistik    

            Andaikan N buah molekul terbagi ke dalam n bilik dimana masing-masing bilik berisi N1,N2 . . .Nn molekul, maka jumlah keadaan mikroskopik dapat dihitung sbb

                     

dimana Ω biasa juga disebut sebagai bobot statistik (Statistical weight). Faktorial dari bilangan yang ordenya hingga 10²³ akan sangat besar sehingga perlu teknik khusus untuk menghitungnya.

Kita akan menggunakan pendekatan Stirling yaitu

                                             

                                                    ln x! = x ln x − x (7.4)

Elaborasi

Rumus Stirling dalam Persamaan di atas sebenarnya merupakan pengintegralan sederhana sbb                             

 

Selanjutnya, kita akan merumuskan entropi yang secara mekanika statistik didefinsikan sebagai

                       

Dengan menggunakan rumus Stirling, diperoleh

                              

            Jumlah molekul yang berada pada bilik ke-i tentu saja berubah setiap saat. Akan tetapi pada saat entropi maksimum, maka perubahan bobot statistik maksimum Ω_max akibat perubahan dari Ni adalah nol. Jika bobot statistik ­ maximum, logaritmanya juga maximum, sehingga

         

Suku pertama dari sini hasilnya lenyap sebab

              

Alasan kenapa ∑δNi = 0, terkait dengan kenyataan bahwa jumlah molekul tetap, pertambahan jumlah dalam suatu bilik adalah akibat pengurangan pada bilik yang lain. Implikasinya,

       

Perlu diperhatikan bahwa δNi tidak saling bebas karena

            

yang merupakan persamaan syarat pertama. Karena sistem yang ditinjau merupakan sistem terisolasi dimana energi dalamnya tetap, maka

Variasi dari persamaan ini mengasilkan persamaan syarat yang kedua (yang per tama adalah Pers.

             

            Dengan alasan yang sama saat mebahas distribusi kecepatan molekuler, kita menggunakan pengali Lagrange, dalam hal ini ln α dan β, sehingga diperoleh

                     

            Karena telah dikalikan dengan pengali Lagnrange, δNi dalam persamaan di atas secara efektif sudah saling bebas sehingga untuk setiap nilai i berlaku

                

yang menghasilkan

               

Karena

∑ Ni = N, berarti

          

dimana Z disebut sebagai fungsi partisi. Persamaan untuk Ni dalam (7.12) dapat dituliskan sebagai

            

Hubungan antar fungsi partisi dan entropi dapat ditelusuri dari bobot statistik sbb

                

Apabila ke dalam persamaan terakhir ini dimasukkan

                           

diperoleh

                  

        

Di sini kita mulai dapat memperkenalkan konsep temperatur yang muncul murni dari peninjauan fisika statistik.

E.      Perhitungan Entropi Gas Ideal

            Dalam bagian ini akan digunakan konsep statistik Maxwell-Boltzmann untuk perhitungan entropi

gas ideal. Hamiltonian sistem dinyatakan oleh

             

Suku energi potensial tidak ada karena molekul-molekul gas ideal saling bebas. Perhatikan bahwa batas penjumlahan berubah dari N menjadi 3N, yaitu karena Jumlah mikrostate sistem dinyatakan oleh integrasi

        

Oleh karena Hamiltonian tidak bergantung pada posisi q, integrasi terhadap d³Nq menghasilkan V^N sehingga

            

             

Perhitungan sisa integral dilakukan dengan memperhitungkan keadaan bahwa semua titik dalam ruang fase memenuhi

          

yang beberati bahwa daerah integrasi dapat dipandang sebagai bola berdimensi 3N berjejari . Volume bola tersebut adalah berupa integrasi

dimana telah dilakukan transformasi peubah yi = xi/R. Dengan demikian integrasi terakhir tidak lagi bergantung pada R melainkan hanya pada dimensi N, sehingga

Perhatikanlah integral generik berikut

       

 

sehingga 

                 

yang berarti bahwa Pers. 7.25 bergantung hanya pada   Akibatnya elemen

volume dapat dinyatakan oleh kulit bola, menggunakan Pers. (7.23)

...........(7.26)

F.      Paradoks Gibbs

Sajian entropi gas ideal seperti dalam 7.26 memiliki kontradiksi. Kontradiksi ini adalah

   

Andaikan terdapat dua jenis gas yang terpisah seperti gambar. Kemudian pada saat t = 0, dinding pemisah diangkat, sehingga setelah selang waktu tertentu keadaan setimbang baru dicapai. Entropi sistem sebelum diding pemisah diangkat adalah

    .............(7.27)

dan setelah diangkat

     .............(.7.28)

Berdasarkan Pers. (7.27) maka selisi antara entropi setelah dan sebelum dinding diangkat adalah

..........(7.30)

            Hingga disini belum terlihat kontradiksi sebab percampuran gas merupakan proses ireversibel (tak terbalikkan). Setelah beberapa waktu sejumlah molekul gas jenis A akan ke wilayah B, demikian sebaliknya. Kontradiksi muncul ketika molekul yang ditinjau sejenis dan tak terbedakan. Hal ini berarti kita tidak mampu menomori molekul-molekul gas. Jumlah keadaan mikro menjadi lebih sedikit dibandingkan dengan keadaan untuk sistem terbedakan. Keadaan mikro tidak berubah akibat pertukaran molekul dari satu tempat ke tempat lain. Perhitungan perubahan entropi menurut Pers. (7.30) bersifat paradoksal sebab di satu pihak ¢S > 0 berarti bahwa pertukaran tempat molekul tidak mengubah Secara klasik

G.    Teori Debye

Teori ini membahas panas jenis zat pada pada temperatur rendah.

                                              Cv ≈ T3

Referensi

·         Tasrief sulungan, Fisika Statistik, Makasar : http:// www. Unhas.ac.id (2011), hlm 67 (diakses 26 april 2018)